|
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Można wykazać [9], że pochodne te można wyrazić za pomocą wzorów:d i′d j′d k′= ω× i′,= ω× j′,= ω× k′.(5.31)dtdtdtWektor ω jest prędkością kątową charakteryzującą zmiany kierunków osi x′,y′,z′w czasie.W ruchomym układzie współrzędnych prędkość kątową ω możnawyrazić za pomocą współrzędnych:ω = ω i′+ ω j′+ ω′′′ k ′.(d)xyzPo podstawieniu zależności (5.31) do wzoru (c) otrzymamy:d r′ = x (′ω×i′)+ y (′ω× j′)+ z (′ω×k′)= ω×(x′i′+ y′j′+ z′k′).dtWyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie z zależnością (5.27), jest wektoremr′.Zatemd r′ = ω×r′.(e)dtPo podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzórna prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu ogólnym.v = v.(5.32)O′ + ω× r′Z otrzymanego wzoru wynika, że prędkość dowolnego punktu M bryły jestrówna sumie prędkości v dowolnie obranego bieguna O′ , przyjętego zaO′początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego ω× r′prędkości kątowej ω i promienia wodzącego r′ punktu M w ruchomym układziewspółrzędnych.Na podstawie wzoru (5.32) możemy ponadto sformułować następujące wnioski:a) Prędkość punktu O′ zależy od wyboru tego punktu.b) Prędkość kątowa ω nie zależy od wyboru punktu O′ , lecz jedynie od zmianykierunków osi x′, y′, z′ w czasie.c) Mimo zmiany punktu O′ prędkość punktu M nie ulegnie zmianie, ponieważzmieni się również odpowiednio wyrażenie ω× r′.Pozróżniczkowaniu względem czasu wzoru na prędkość (5.32) otrzymamyprzyśpieszenie punktu M:d vd v ′d ωd r′Oa ==+× r′+ ω×.(f)dtdtdtdtPo oznaczeniu przyśpieszenia początku O′ ruchomego układu współrzędnychprzezd vaO′=(g)O′dtoraz przyśpieszenia kątowego przezd ωε =(h)dti wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie końcową postać:a = a.(5.33)O′ + ε× r′+ ω× (ω× r′)Wzór ten można przedstawić w nieco innej postaci po rozpisaniu występującegow nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zależnością (2.34):a = a− 2ω r′.(5.34)O′ + ε× r′+ ω(ω⋅ r′)Ze wzorów na prędkość (5.32) i przyśpieszenie (5.33) wynika, że abywyznaczyć prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu M bryły, należy znaćcztery wielkości wektorowe charakteryzujące ruch ogólny bryły:a) prędkość v i przyśpieszenie a jednego z punktów bryły O′ (bieguna),O′O′b) prędkość kątową ω i przyśpieszenie kątowe bryły ε.Wyprowadzone w tym punkcie wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnegopunktu bryły w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w następnychpunktach tego rozdziału szczególnych przypadków ruchu ogólnego bryły, czylipostępowego, obrotowego, śrubowego, płaskiego i kulistego.5.3.3.Ruch postępowyRuch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeżeli dowolna prosta sztywnozwiązana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położeniapoczątkowego.Zpowyższej definicji wynika, że każda z osi układu współrzędnych x′, y′, z′przedstawionego na rys.5.8 będzie miała w ruchu postępowym ten sam kierunek.Podobnie wektor r′ = O′M nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem będzie on wektorem stałym niezależnym od czasu: r′ = const, więc jego pochodnawe wzorze (5.30) będzie równa zeru.Stąd prędkość dowolnego punktu bryływyraża zależność:d rv =O′ = v.(5.35)O′dtPo zróżniczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przyśpieszenie.d 2 rd va =O′ =O′ = a.(5.36)O′dt 2dtZe wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu postępowego wynikająnastępujące wnioski:a) Wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te sameprędkości v i przyśpieszenia a w tej samej chwili czasu.O′O′b) Tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.c) Dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednegopunktu bryły, np [ Pobierz całość w formacie PDF ] |
Archiwum
|